Название проекта «Методы алгебры и геометрии в естественных науках» является обобщающим для нескольких отдельных (но связанных) курсов, читаемых в Университете ИТМО на ряде образовательных программ с усиленной математической подготовкой. Целью является ознакомление как с основами, так и с современным математическим аппаратом линейной алгебры и геометрии, получившим широкое распространение в теоретической и математической физике, компьютерном моделировании движений, разработке игр, анализе данных и машинном обучении, проектировании роботов и систем контроля движений.
Аудитория, на которую рассчитан предмет — студенты с 1-го по 3-й курсы с углубленным изучением математических дисциплин: «Математический анализ», «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Дифференциальные уравнения». В лекциях выбран «геометрический» метод изложения. В структуре курса выделяются следующие разделы:
«Аналитическая геометрия»
Содержание: 1. Векторы и системы координат; 2. Векторная алгебра; 3. Преобразование координат; 4. Прямые и плоскости; 5. Взаимное расположение прямых и плоскостей; 6. Кривые второго порядка; 7. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду; 8. Поверхности второго порядка.
«Линейная алгебра»
Содержание: 1. Алгебраические структуры; 2. Комплексные числа; 3. Линейные алгебраические системы уравнений; 4. Полилинейные формы; 5. Определители; 6. Линейные операторы; 7. Алгебра операторов и матриц; 8. Тензорная алгебра; 8. Спектральный анализ линейных операторов скалярного типа; 9. Спектральный анализ линейных операторов общего вида; 10. Евклидово пространство; 11. Ортогональность; 12. Тензоры и линейные операторы в евклидовом пространстве.
«Топология многообразий»
Содержание: 1. Топологические пространства; 2. Дифференцируемые многообразия; 3. Отображения многообразий; 4. Гомотопия и фундаментальные группы; 5. Накрывающие многообразия;
«Векторные поля на многообразии»
Содержание: 1. Касательные пространства и их отображения; 2. Лагранжева механика систем со связями; 3. Расслоения многообразий; 4. Векторное поле на многообразии; 5. Алгебра векторных полей; 6. Производная Ли; 7. Подмногообразия и слоения; 8. Группы Ли; 9. Алгебры Ли; 10. Линейные группы Ли; 11. Гомоморфизмы алгебр Ли.
«Тензоры на многообразии»
Содержание: 1. Полилинейная алгебра; 2. Алгебра антисимметричных форм; 3. Тензоры на многообразии; 4. Дифференциальные формы; 5. Производные тензоров; 6. Формы объема и ориентация; 7. Интегрирование на многообразии; 8. Теорема Стокса;
«Геометрия на многообразии»
Содержание: 1. Симплектические многообразия; 2. Гамильтонова механика и предквантование многообразии. 3. Связность на многообразии; 4. Тензоры кручения и кривизны; 5. Римановы многообразия, метрический тензор; 6. Параллельный перенос; 7. Геодезические на многообразии; 8. Общая теория относительности.